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RMQ 一维模板

void intRMQ(int n,int b[])
{
    mm[0]=-1;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1]; 
                //计算长度 n为2的倍数 n&n-1==0
        dp[i][0]=b[i];  //初值
    }
    for(int j=1; j<=mm[n]; ++j)  //for(int j=1;(1<<j)<=n;++j)
        for(int i=1; i+(1<<j)-1<=n; ++i)
        {
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
          //maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
          //minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }

}

int rmq(int x,int y)
{
    int k=mm[y-x+1];
    return max(dp[x][k],dp[y-(1<<k)+1][k]);
    
}

1. 概述

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，这里我们暂不介绍。

2.RMQ算法

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。

本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j – 1) – 1为一段，i + 2 ^ (j – 1)到i + 2 ^ j – 1为一段(长度都为2 ^ (j – 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

（二）然后是查询。

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为j – i + 1,所以我们可以取k=log2( j – i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j – 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 – 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 – 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

在这里我们也需要注意一个地方，就是<<运算符和+-运算符的优先级。

比如这个表达式：5 – 1 << 2是多少？

答案是：4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 – (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。