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HDU 1151 Air Raid (最小路径覆盖)

1.一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数

König 定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小 点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它 为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。

2.最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数  

在一个 N*N 的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，且任何一个顶点 有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，那么恰好可以经 过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集． 由上面可以得出：

1.一个单独的顶点是一条路径；

2.如果存在一路径 p1,p2,……pk，其中 p1 为起点，pk 为终点，那么在覆盖图中，顶点 p1,p2,……pk 不再 与其它的

顶点之间存在有向边．

最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为 G 的一个路径覆盖．  路径覆盖与二分图匹配的关系：最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数；

3.二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配

独立集：图中任意两个顶点都不相连的顶点集合。

#include <bits/stdc++.h>

const int MAXN = 5010;//点数的最大值
const int MAXM = 50010;//边数的最大值
struct Edge
{
    int to,next;
} edge[MAXM];

int head[MAXN],tot;

void init()
{
    tot = 0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}

void addedge(int u,int v)
{
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}

int linker[MAXN];
bool used[MAXN];
int uN;

bool dfs(int u)
{
    for(int i = head[u]; i != -1 ; i = edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(!used[v])
        {
            used[v] = true;
            if(linker[v] == -1 || dfs(linker[v]))
            {
                linker[v] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int hungary()
{
    int res = 0;
    memset(linker,-1,sizeof(linker));
    for(int u = 1; u <= uN; u++)
    {
        memset(used,false,sizeof(used));
        if(dfs(u))res++;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int t;
    std::cin>>t;
    int n,k;
    while(t--)
    {
        std::cin>>n>>k;
        init();
        int u,v;
        while(k--)
        {
            std::cin>>u>>v;
            addedge(u,v);
        }
        uN=n;
        std::cout<<(n-hungary())<<std::endl;

    }

    return 0;
}